Wolstenholme 定理1,即是指同餘式:

\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}

對質數p \geq 5成立。也等價於:

\binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3}

這一形式來自 J.W.L. Glashier。

以上皆是引用。本文將用初等方法證明以上的定理。

所謂“初等方法”是指不超過高校初等數論2教材範圍的方法。請注意,這個證明的一部分是由紀春崗教授提供的3

準備工作

引理 14

對質數p \ge 3以及1 \le k \lt p-1,下列同餘式成立:

1^k + 2^k + \cdots + (p-1)^k \equiv 0 \pmod{p}

證明:取a是模p的一個原根。另外,當k = 1時結論平凡。知a^r \bmod{p}構成了模 p 的一個縮系,於是:

\begin{align}&LHS \equiv \sum_{r=0}^{p-1} (a^r)^k \equiv \frac{a^{k(p-1)} - 1}{a^k - 1}\\&\because k \leq p - 2 \therefore p \nmid a^k - 1\\&\therefore LHS \equiv 0 \pmod{p}\\&\blacksquare\end{align}

定理 1

對質數p \ge 5,下列同餘式成立:

(p-1)! (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1}) \equiv 0 \pmod{p^2}

證明:

LHS = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i}= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p-1} (\frac{1}{i} + \frac{1}{p - i})= \frac{p}{2} \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i(p-i)}

A = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i(p-i)},由 Fermat's little theorem,

\begin{align}&(1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1}A\\&= \sum_{i=1}^{p-1} \frac{ (1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1} }{ i(p-i) }\\&\equiv\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-2}(p-i)^{p-2} \equiv - \sum_{i=1}^{p-1} i^{2p-4}\\&\equiv - \sum_{i=1}^{p-1} i^{p-3} \equiv 0 \pmod{p} \text{ (引理 1)}\\&\therefore p | A \therefore p^2 | LHS\\\end{align}
(p-1)! (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1}) \equiv 0 \pmod{p^2}

\blacksquare

定理 2

對質數p \ge 5,下列同餘式成立:

(p-1)!^2 (1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^2}) \equiv 0 \pmod{p}

證明:

同樣由 Fermat's little theorem,

\begin{align}&\sum_{i=1}^{p-1} \frac{ (1\times2\times\cdots\times(p-1))^{p-1} }{ i^2 } \equiv \sum_{i=1}^{p-1} i^{p-3}&\equiv 0 \pmod{p} \text{ (引理 1)}\end{align}

(p-1)!^2 (1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^2}) \equiv 0 \pmod{p}

\blacksquare

證明 Wolstenholme 定理

Wolstenholme 定理 Form 1

\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}

(Joseph Wolstenholme,1862)

證明:

LHS - RHS = \binom{2p-1}{p-1} - 1 = \frac{(2p-1)!}{(p-1)! p!} - 1 =\frac{ \prod_{i=1}^{p-1} (p + i) - (p-1)! }{ (p-1)! }

f(x) = \prod_{i=1}^{p-1} (x+i) = x^p + a_{p-1} x^{p-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x^1 + (p-1)!

代入x = p

\begin{align}a_2 & = (p-1)! \sum_{1 \leq i \text{<} j \leq p-1} \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{j}\\& =(p-1)! \frac{1}{2} \left\lbrack (\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i})^2 - \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^2} \right\rbrack\\& \equiv 0 \pmod{p}\,\text{(定理 1、定理 2)}\end{align}

a_1 = (p-1)! \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} \equiv 0 \pmod{p^2}(定理 1)

從而p^3 | \left( f(p) - (p-1)! \right )

p^3 \left| \frac{ \prod_{i=1}^{p-1} (p + i) - (p-1)! }{ (p-1)! } \right.

LHS \equiv RHS \pmod{p^3}

\blacksquare

Wolstenholme 定理 Form 2

\binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3}

(J.W.L. Glashier)

證明:

由定義知\binom{np}{0} = 1 = \binom{n}{0}

\binom{n}{r+1} = \binom{n}{r} \frac{r+1}{n-r}

於是

\begin{align}&\binom{np}{(r+1)p} = \binom{np}{rp} \frac{ (rp+1)(rp+2)\cdots(rp+p) }{ (np-rp)(np-rp-1)\cdots(np-rp-p+1) }\\&= \binom{np}{rp} \frac{(r+1)p}{(n-r)p} \cdot \frac{ (rp+1)(rp+2)\cdots(rp+p-1) }{ ((n-r)p-1)((n-r)p-2)\cdots((n-r)p-p+1) }\\&= \binom{np}{rp} \frac{r+1}{n-r} \cdot \frac{A}{B}\end{align}

\frac{A}{B} \equiv 1 \pmod{p^3} \Leftrightarrow A \equiv B \pmod{p^3}

從定理 Form 1 的證明中引進多項式f(x),有A = f(rp),\quad B = f((n-r+1)p)

A \equiv (p-1)! \pmod{p^3}, \quad B \equiv (p-1)! \pmod{p^3}

於是A \equiv B \pmod{p^3} \Rightarrow \frac{A}{B} \equiv 1 \pmod{p^3}

\binom{np}{(r+1)p} \equiv \binom{np}{rp} \frac{r+1}{n-r} \pmod {p^3}

\binom{np}{0} \equiv \binom{n}{0} \pmod{p^3}奠基,由第二數學歸納法即得

\binom{np}{rp} \equiv \binom{n}{r} \pmod{p^3} \quad \forall\, 0 \leq r \leq n,\,r \in \mathbb{N}

\blacksquare


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_theorem
  2. 《初等數論》(第三版),閔嗣鶴、嚴士健 編。ISBN 978-7-04-011874-2
  3. 2017 年江蘇省數學聯賽複試,二試數論。
  4. 這個方法來自 https://math.stackexchange.com/a/1766492